线性代数学习笔记-2-矩阵消元
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一个好的矩阵当然是可以求出解，利用高斯消元法，主元不能为零，为零的话，尝试公式上下换个位置，所以一个好的矩阵，他应该在消元之后，剩下 3 个不为零的主元\left \{ \begin{array}{c} x+2y+z=2 \\ 3x+8y+z=12 \\ 0x+4y+z=2 \end{array} \right.
它的矩阵(增广矩阵)表示为：
\left[ \begin{array} {c c c | c} 1 & 2 & 1 & 2 \\ \hline 3 & 8 & 1 & 12 \\ \hline 0 & 4 & 1 & 12 \end{array} \right]第一列*3，被第二列减去
\left[ \begin{array} {c c c | c} 1 & 2 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 2 & -2 & 6 \\ \hline 0 & 4 & 1 & 2 \end{array} \right]由于第三列的主元为 0 不需要消元
第二列*2 被 3 列减去
\left[ \begin{array} {c c c | c} 1 & 2 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 2 & -2 & 6 \\ \hline 0 & 0 & 5 & -10 \end{array} \right]\left \{ \begin{array}{c} x+2y+z=2 \\ 0x+2y-2z=6 \\ 0x+0y+5z=-10 \end{array} \right.回代得出
\left \{ \begin{array}{c} z=-2 \\ y=1 \\ x=2 \end{array} \right. -
问题：观察一下一个 2_2 的矩阵右乘一个 2_1 的矩阵，左乘一个 1*2 的矩阵。对于
\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\\ \end{bmatrix}我们可以理解成列向量
\begin{bmatrix}a \\ c \\ \end{bmatrix}与列向量
\begin{bmatrix}b \\ d \\ \end{bmatrix}的线性组合,那么有趣的来了对于
\begin{bmatrix}1 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\\ \end{bmatrix}我同样可以看作向量的组合，这次我可以看作是
\begin{bmatrix}1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b \\ \end{bmatrix}和
\begin{bmatrix}2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}c & d \\ \end{bmatrix}的列向量组合。这种解释是想让我们把问题作为向量的线性组合来看。
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引入矩阵
\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1\\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \\ 12 \\ 2 \end{bmatrix}增广(增加了一列)矩阵就是把矩阵的右侧向量 b 加入到矩阵 A 中
\left[ \begin{array} {c c c | c} 1 & 2 & 1 & 2 \\ \hline 3 & 8 & 1 & 12 \\ \hline 0 & 4 & 1 & 2 \end{array} \right]对于上面的向量组合的解释，对于下面的矩阵如何看待
\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1\\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix}第一步进行消元之后得到了矩阵
\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2\\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix}我们把他们看作一个个列向量，那么如果通过列向量的组合来得到矩阵结果
\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1\\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}这个矩阵我们称为E_{32}(单位矩阵)，改动了第 3 行第 2 列的数据,我们通过E_{21}(E_{32}A)=U。我们也可以直接(E_{21}E_{32})A=U,一步得到消去的方程。
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逆矩阵
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问题:我们通过左乘矩阵来完成了矩阵的消元，同时我们也知道了单位矩阵的改变，这同时也记录了我们对原矩阵的改变，那么我们如何把 U 还原成 A 呢?也就是我们如何让
\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}我们通过第二列矩阵减去一个 3 倍的第一列矩阵，那么不就抵消了之前的操作嘛。变回单位矩阵，我们左乘一个逆矩阵，来得到一个单位矩阵
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矩阵如何列变换？
即如果满足
\begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix} => \begin{bmatrix}b & a \\ d & c \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b & a \\ d & c \end{bmatrix}如何完成行交换?
\begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix} => \begin{bmatrix}c & d \\ a & b \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c & d \\ a & b \end{bmatrix}
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